Calcoli rapidi: teniamo la mente in allenamento
INTRODUZIONE AI CALCOLI A MENTE
I trucchi di calcolo mentale sono delle scorciatoie per fare i calcoli in modo semplice e rapido possibilmente. Occorre almeno sapere le tabelline. Il problema è che la mente umana legge i numeri da sinistra a destra, mentre i calcoli carta e penna vengono fatti da destra a sinistra su un foglio che fa da supporto di memoria. Nel seguito vedremo le tecniche che possiamo usare per facilitarci il compito. Poi si tratta solo di allenamento
Tutti i trucchi girano attorno alla proprietà distributiva di moltiplicazione e divisione oppure alla proprietà additiva di somma e sottrazione.
SOMME DI NUMERI CONSECUTIVI
Si racconta che, alle elementari, il maestro di Eulero, per tenere un’oretta tranquilli i bambini, assegnò loro il compito di sommare i primi 100 numeri e di assicurarsi che il calcolo della somma fosse esatto. Tuttavia Eulero consegnò il calcolo dopo 10 minuti, comprensivo di dimostrazione. Per capire il metodo facciamolo solo sui primi 10 numeri che si presta bene ad un ipotetico calcolo mentale che ci potrebbe capitare. Mettendo da parte il 10 che sommeremo alla fine possiamo subito affermare che il totale è 55. Infatti dobbiamo solo osservare che possiamo sommare le cifre accorpandole in modo che, a due a due, danno 10 e contiamo sulla mano quanti 10 abbiamo ottenuto:
9 + 1 = 10, 8 + 2 = 10, 7 + 3 = 10, 6 + 4 = 10 Rimane da solo il 5 quindi fin qui fa 45 a cui aggiungiamo il 10 iniziale messo da parte e otteniamo 55. In effetti contando sulle mani quanti 10 avevamo, avremmo detto che ne avevamo 5 (compreso il 10 messo da parte), quindi fin qui sono 50 a cui avremmo aggiunto il 5 per un totale di 55.
Capito il metodo possiamo dire che la somma dei numeri da 1 a 100 fa 5050. Infatti sommeremo
99 + 1 = 100 ma possiamo arrivare solo a 49+ 51= 100, cioè 49coppie da100 (=4900)
Poi dobbiamo aggiungere il 50 rimasto da solo e il 100 escluso all’inizio.
otteniamo così 5050.
In matematica la somma di termini numerici costituisce una serie, come Eulero, poi, definì da grande.
A questo punto siamo pronti per crearci una regola. Ricordiamoci che accoppiare per due gli oggetti è lo stesso che dividere per 2. Escludiamo il 10 come nel primo esempio che poi sommiamo alla fine e definiamo S il numero totale dei numeri da sommare (=10), S1 la somma che otteniamo da una coppia diminuita di 1 (10-1=9), allora possiamo usare la formula SS1/2 Quindi 109/2 = 45 + 10 = 55 Facciamo lo stesso nel secondo esempio escludendo il 100, otteniamo 100*99/2 = 4950 + 100 = 5050
A questo punto perfezioniamo il tutto senza dover escludere e sommare alla fine. Questa volta ridefiniamo S come il numero totale dei numeri da sommare aumentato di 1(=11)e S1 come il numero totale dei numeri da sommare (=10) e nel primo esempio dalla formula otteniamo direttamente 1110/2 = 55. Nel secondo esempio dicendo S = 101 e S1=100 allora il totale della somma dei primi 100 numeri si ottiene sempre come SS1/2=101*100/2=5050. S=S1+1otteniamo 101*100/2 = 5050.
La formula S*S1/2 è detta triangolare dato che ricorda la formula dell’area di un triangolo. Il vantaggio della formula è che anche per qualche miliardo di numeri possiamo fare il calcolo a mente.
Un’ultima osservazione. Se si devono sommare una quantità di numeri che costituisce un multiplo di 10 si scopre una regola semplice. Osservate la tabella successiva, che rende facile ricavarsi il risultato .
| Numero | Valore somma |
|---|---|
| 10 | 55 |
| 100 | 5050 |
| 1000 | 500500 |
| 10000 | 50005000 |
| 100000 | 5000050000 |
Si osserva facilmente che gli zeri tra i due 5 e quelli alla fine sono tanti quanti sono gli zeri del numero a cui arrivare ma diminuiti di uno. Ad esempio 100000 ha 5 zeri per cui tra i due 5 ci sono quattro zeri e anche alla fine dopo il secondo 5.
SOMME RAPIDE
Un primo metodo è quello di aggiustare i numeri in modo che sia facile sommare a mente. Supponiamo di dover fare 1950 + 3510 Prestiamo a 1950 i 50 che gli mancano per ottenere un numero facile poi da sommare successivamente, in questo caso 2000 mentre l’altro numero diventa 3460 per cui il totale è 5460 Un altro metodo è di scomporre il numero in parti semplici. Ad esempio sommiamo mentalmente 7315 con 213. Scomponiamo 213 in 200 e 13. Otteniamo 7515, che memorizziamo ripetendolo per tre volte, e ora aggiungendo 13 otteniamo 7528.
DIFFERENZE RAPIDE
Le differenze per comodità si possono fare scomponendo il numero da sottrarre in più parti facili . Facciamo 7310 – 730. Partiamo a sottrarre 700 e otteniamo 6610. Leviamo 10 e abbiamo 6600. Ora leviamo 20 e otteniamo 6580. Un altro metodo è aggiustare prima un numero per fare i calcoli facili e poi ottenere il risultato giusto. Ad esempio 498 – 50. Facciamo allora 500 – 50 = 450 e a questo punto devo togliere il 2 aggiunto a 498 e ottengo 448.
MOLTIPLICAZIONI RAPIDE
Il metodo consiste nel scomporre il numero da moltiplicare in più parti semplici. Facciamo 1627* 23. Scomponiamo 23 in 20 e 3 . Moltiplichiamo 1627 * 2 = 3254 che moltiplichiamo per 10 e otteniamo 32540 e ripetendolo per tre volte ce lo memorizziamo. Ora abbiamo 1627 * 3 = 4881 che dobbiamo sommare a 32540 e otteniamo37421. La cosa funziona per la proprietà distributiva della moltiplicazione. Difatti abbiamo fatto (2*10 + 3) * 1627.( Facciamo ora l’esempio di 2650 * 32. Prendiamo prima il 2. Qui è facile fare 2600 * 2 = 5200 a cui aggiungere 50 * 2 = 100 per cui otteniamo 5300 e lo memorizziamo, ripetendolo tre volte in mente. Ora moltiplichiamo 2600*3 = 7800 a cui aggiungiamo 50 * 3 = 150 per un totale di 7950. Poiché era 30 e non 3 allora il risultato è 79500 a cui aggiungiamo i 5300 memorizzati e otteniamo il totale 84800. A volte si può fare un calcolo per eccesso e poi sottrarre. Ad esempio 79*6 si può calcolare come 80 * 6 – 1 * 6 = 480 – 6 = 474.
MOLTIPLICAZIONE PER 5
Moltiplicare per 5 un numero grande equivale moltiplicarlo per 10 e dividerlo per 2. Vediamo 7321 * 5 = 73210 / 2. Ora facciamo 70000/2 = 35000 a cui dobbiamo aggiungere 3000/2 = 1500 e sommiamo i primi due risultati ottenendo 36500 e rimane 210 /2= 105 e sommando fa36605.
DIVISIONI RAPIDE
Quando si deve dividere un numero per due a volte è più semplice scomporre il numero in due parti la cui divisione è semplice e, poi, si sommano i due risultati. Ad esempio 532/2 lo scomponiamo in 500 la cui metà è 250 mentre per 32 è 16. Sommando i risultati si ottiene 266. Un altro metodo è quello solo di accorpare a gruppi i numeri , usando le tabelline e la differenza. Adesempio se devo dividere 44 per 6 faccio il raggruppanento di 44 a 6 alla volta con la tabellina del 6, contando sulla mano il numero di raggruppamenti che faccio: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42. Oltre supero 44 e, quindi, devo fermarmi. I raggruppamenti sulla mano sono 7 e tra 42 e 44 restano 2. Per cui il risultato della divisione è 7 col resto di 2.:
percentuali rapide
Le percentuali possono servire per sapere rapidamente il rendimento di una obbligazione o un titolo. Il mio metodo è sempre quello di ricondurmi al 10 per cento e poi all’1 per cento. Ad esempio dobbiamo calcolare su 1350 euro il 3%. Il 10% significa dividere per 10 la cifra (perché è 10/100) mentre l’1% significa dividerla per 100 (perché è 1/100). Per cui l’1% dell’esempio è 13,50. Ora il 3% si ottiene moltiplicando per 3 il tutto e si ottiene 40,50. Se devo calcolare il 12% calcolo prima il 10% e lo memorizzo ovvero 135. Ora l’1% è 13,50 che moltiplico per 2 e ottengo 27. Ora sommo 27 e 135 che fa 162.
MEDIA ARITMETICA RAPIDA
Sappiamo che per fare la media aritmetica dei numeri occorre sommarli e, poi, dividerli per quanti sono Ad esempio con 7,8,9 devo fare la somma che fa 24 e dividere per 3 e ottengo 8. Però osservando che i tre numeri sono vicini allora il 9 poteva prestare 1 al 7 e ottenevamo tutti 8 senza fare calcoli. Un altro esempio è con 5,7,9 Qua il 9 presta 2 al 5 e otteniamo tutti 7.
Negli esempi precedenti siamo stati bravi a osservare che i numeri differiscono di 2 tra loro e abbiamo fatto che il maggiore presta al più piccolo.
Facciamo il caso di 4, 5,9. In questo caso il numero maggiore differisce di 4 dal più piccolo, quindi ne presta la metà di 4 ad ognuno e diventa 6, 7, 5. Per cui il 7 presta 1 al 5 e si ottiene tutti 6.
QUADRATI A MENTE
Facciamo l’esempio 13 al quadrato. Ricordiamoci che il quadrato di un numero significa moltiplicare il numero per sé stesso. Per cui facciamo prima 1310 = 130 e poi 133 = 39 e sommando otteniamo 169. Vediamo 132 al quadrato. Facciamo prima100132= 13200 e memorizziamo. Ora 30132 = 3960per cui la somma è 17160ripetiamo due, tre volte per memorizzarla. Ora facciamo 2*132 = 264per cui la somma totale è 17424. Aumentando il numero di cifre aumenta anche il numero di scomposizioni, somme da fare e da ricordare. Serve allenamento. Provate 1721 al quadrato.
RADICE QUADRATA A MENTE
Non è facile fare un calcolo preciso senza carta e penna o calcolatrice. Tuttavia è possibile fare almeno un calcolo approssimato, usando la tecnica di vedere il numero di cui si vuole sapere la radice tra quali quadrati noti è localizzato. Ad esempio 99 è tra 9 al quadrato e 10 al quadrato. A questo si può tentare di vedere se è più vicino a 9,9 al quadrato .
Quindi proviamo a fare 9999.
Facciamo 999 = 891 che moltiplichiamo per 10 (volendo arrivare a 9990) ottenendo 8910 e memorizziamo. CI manca solo 999 =891, che sommiamo a 8910 otteniamo9801. Tenendo presente ora le due virgole significa che arriviamo a 98,01.
Per cui la radice deve essere almeno vicino a 9,9 ameno di qualche altro decimale. Difatti la radice è circa 9,948.
RADICI QUALSIASI
Per radici qualsiasi intendiamo la radice cubica o quarta e così via. Bisogna ricordare che possiamo sempre ricondurci ad una potenza, costituita da base ed esponente; per cui calcolarne la radice significa trovare la base della potenza. Ad esempio la radice quarta di 16, la possiamo trovare sapendo che 2^4 = 16, per cui la radice quarta è 2.
Anche qui se dobbiamo calcolare la radice quarta di 18 significa che si trova tra 24 a= 16 e 34 =81 (sono obbligato a usare il 4 perché cerco la radice quarta),il che vuol dire che la radice quarta di 18 è 2 con dei centesimi. Infatti vale circa 2,05.
CALCOLI RAPIDI CON LE POTENZE
Quando i numeri sono troppo grandi si può fare un calcolo usando le potenze per trattare sempre numeri piccoli. Ad esempio vogliamo calcolare quanto è la distanza in Km di 3 anni luce. Un anno luce è lo spazio percorso dalla luce alla velocità approssimativa di 300000 Km /secondo. Riconduciamo 300000 a 3*10^5. Ora un anno terrestre è 365 giorni, che moltiplicati per 3 da 1095. Per cui possiamo dire elegantemente che 3 anni luce sono una distanza di 10,95*10^7 Km.
LOGARITMI RAPIDI
Il risultato di un logaritmo è l’esponente che occorre dare alla base del logaritmo per ottenere l’argomento . Per cui si può lavorare con le potenze, almeno in modo approssimato nel calcolo a mente. Ad esempio log2 8= 3;infatti 2^3 = 8.
Il log 2 di 15 allora è tra 3 e 4; infatti 2^3 = 8 e 2^4 = 16. Quindi è di sicuro verso 3,9 con qualche decimale.
Il metodo è possibile anche con le altre basi, cercando di capire tra quali due valori si trova il risultato.
CONCLUSIONI
Abbiamo mostrato le tecniche per ridurre le difficoltà di calcolo a mente e come memorizzare i risultati intermedi. Le tecniche sono utili nella vita quotidiana di ognuno di noi, specie in quelle situazioni che non abbiamo a portata di mano un cellulare o un computer. L’importante è capire che occorre allenarsi un quarto d’ora al giorno e tenere in allenamento la mente, cosa senz’altro utile per non vedenti e anche da anziani. Buon calcolo a mente!